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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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14. Determine los valores de c∈(0,+∞)c \in(0,+\infty) para los cuales la ecuación ex2x−1=ce^{\frac{x^{2}}{x-1}}=c tiene una única solución.

Respuesta

Arrancamos definiendo f(x)=ex2x−1f(x) = e^{\frac{x^{2}}{x-1}} y haciendo un estudio de función completo. Al final, cuando tengamos el gráfico aproximado, vamos a poder responder a la pregunta del enunciado. 

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x) El dominio de ff es R−{1}\mathbb{R} - \{1\} 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: 

lim⁡x→1− ex2x−1=0\lim_{x \to 1^-} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = 0

lim⁡x→1+ ex2x−1=+∞\lim_{x \to 1^+} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = +\infty

Por lo tanto, x=1x = 1 es asíntota vertical de ff. 
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando xx tiende a ±∞\pm \infty
lim⁡x→+∞ ex2x−1=e+∞=+∞\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = e^{+\infty} = +\infty

lim⁡x→−∞ ex2x−1=e−∞=0\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = e^{-\infty} = 0

Por lo tanto, ff tiene una asíntota horizontal en y=0y = 0 en −∞-\infty.
  3) Calculamos f′(x)f'(x):

A mi la derivada me quedó así

 f′(x)=ex2x−1⋅x2−2x(x−1)2 f'(x) = e^{\frac{x^{2}}{x-1}} \cdot \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}  
4) Igualamos f′(x)f'(x) a cero para encontrar los puntos críticos:

ex2x−1⋅x2−2x(x−1)2=0e^{\frac{x^{2}}{x-1}} \cdot \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = 0 

Como la exponencial nunca es cero, las soluciones van a salir de plantear:

x2−2x(x−1)2=0 \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = 0 

x2−2x=0x^2 - 2x = 0

Y las soluciones de esta ecuación, terminando de despejar, son x=0x=0 y x=2x=2. Por lo tanto, estos son nuestros puntos críticos.
  5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<0x < 0

b) 0<x<10 < x < 1

c) 1<x<21 < x < 2

d) x>2x > 2 6) Evaluamos el signo de f′(x)f'(x) en cada uno de los intervalos: a) Para x<0x < 0 f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente. b) Para 0<x<10< x < 1, f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente. c) Para 1<x<21 < x < 2 f′(x)<0f'(x) < 0. En este intervalo, ff es decreciente.

d) Para x>2x > 2
f′(x)>0f'(x) > 0. En este intervalo, ff es creciente.

No te olvides vos cuando hagas el gráfico de evaluar cuánto vale ff en cada uno de los máximos y mínimos que nos quedaron. Deberias tener en tu hoja algo como esto:

2024-04-20%2011:48:16_4747413.png

Ahora que ya tenemos el gráfico de ff respondamos a la pregunta: Tenemos que determinar los valores de c∈(0,+∞)c \in(0,+\infty) para los cuales f(x)=cf(x)=c tiene una única solución. 

Viendo el gráfico, ff tiene una única solución si c=f(0)c = f(0) y si c=f(2)c = f(2). Para cualquier otro valor de cc, tendremos dos soluciones o ninguna. 
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tomas
21 de mayo 22:46
Buenas Flor, unas dudas, a veces escribís de una forma y después de otra, cual es el motivo? otra, cuando hacemos el "cuadrito" habría que poner por ejemplo, (-infinito; -1/4) (-1/4)(-1/4;1/4) (1/4) (1/4; +infinito)?, ¿Cómo seria el "cuadrito" cuando es el ejemplo de x<0? La ultima, ¿Sacar la (y) es igualar en la función el numero que nos da la asíntota horizontal? Perdón si son muchas pero las recolecte todas en una, gracias de verdad por todo <3332024-05-21%2022:40:22_7699053.png2024-05-21%2022:40:37_4952651.png
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Flor
PROFE
21 de mayo 23:17
@tomas Hola Tomi! Justo estaba terminando de responder todas las dudas de hoy y me entró la tuya jaja

En realidad las dos formas son lo mismo! Por ejemplo, en este caso cuando digo x<0x < 0, estoy haciendo referencia al conjunto formado por todos los xx menores a cero, o sea, (−∞,0)(-\infty, 0). O por ejemplo, si decimos 0<x<10<x<1, son todos los xx que están entre 00 y 11, o sea en el intervalo (0,1)(0,1), se ve? En este ejemplo la tablita te quedaría así:

2024-05-21%2023:14:57_6268287.png

Y con respecto a la última pregunta, acordate que la asíntota horizontal es una recta de pendiente cero (o sea una recta horizontal), entonces es algo de la forma y=y = un número. 

Si cuando tomamos el límite cuando xx tiende a ++ o a −∞-\infty ese límite nos da un número, quiere decir que en infinito nuestra función "se pega" a esa recta horizontal. Entonces ponés, como en este caso, que ff tiene una asíntota horizontal en y=0y = 0 (que es el resultado que nos dio el límite), se entiende?
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tomas
22 de mayo 19:18
perdón por la hora 🥺 si, se entendió perfectamente, era algo q me costaba entender pero ya lo voy cerrando mejor, gracias!
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