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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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14. Determine los valores de $c \in(0,+\infty)$ para los cuales la ecuación $e^{\frac{x^{2}}{x-1}}=c$ tiene una única solución.

Respuesta

Arrancamos definiendo $f(x) = e^{\frac{x^{2}}{x-1}}$ y haciendo un estudio de función completo. Al final, cuando tengamos el gráfico aproximado, vamos a poder responder a la pregunta del enunciado. 

1) Identificamos el dominio de $f(x)$ El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{1\}$ 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: 

$\lim_{x \to 1^-} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = 0$

$\lim_{x \to 1^+} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = +\infty$

Por lo tanto, $x = 1$ es asíntota vertical de $f$. 
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = e^{+\infty} = +\infty $

$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{x^{2}}{x-1}} = e^{-\infty} = 0 $

Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ en $-\infty$.
  3) Calculamos $f'(x)$:

A mi la derivada me quedó así

 \( f'(x) = e^{\frac{x^{2}}{x-1}} \cdot \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} \) 
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$e^{\frac{x^{2}}{x-1}} \cdot \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = 0$ 

Como la exponencial nunca es cero, las soluciones van a salir de plantear:

$ \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = 0$ 

$x^2 - 2x = 0$

Y las soluciones de esta ecuación, terminando de despejar, son $x=0$ y $x=2$. Por lo tanto, estos son nuestros puntos críticos.
  5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) $x < 0$

b) $0 < x < 1$

c) $1 < x < 2$

d) $x > 2$ 6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para $x < 0$ $f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente. b) Para $0< x < 1$, $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente. c) Para $1 < x < 2$ $f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.

d) Para $x > 2$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.

No te olvides vos cuando hagas el gráfico de evaluar cuánto vale $f$ en cada uno de los máximos y mínimos que nos quedaron. Deberias tener en tu hoja algo como esto:

2024-04-20%2011:48:16_4747413.png

Ahora que ya tenemos el gráfico de $f$ respondamos a la pregunta: Tenemos que determinar los valores de $c \in(0,+\infty)$ para los cuales $f(x)=c$ tiene una única solución. 

Viendo el gráfico, $f$ tiene una única solución si $c = f(0)$ y si $c = f(2)$. Para cualquier otro valor de $c$, tendremos dos soluciones o ninguna. 
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Avatar 24 de mayo 12:24
Hola flor, buen dia! quiero ver si entendi... dsp de hacer todo el estudio de la funcion, cuando yo tengo el grafico y necesito ver las soluciones q tiene, yo aca tendria q trazar rectas horizontales desde el eje y hacia la derecha (xq me piden la solucion en el intervalo (0, +inf)) no?
pero aca tengo una duda, no logro visualizar por qué desde c = f(0) para abajo (hacia el eje x) tendriamos dos soluciones.. no tendriamos solo una tambien? teniendo en cuenta q solo debo mirar el lado derecho de mi grafico. No se si me exprese bien, espero se entienda mi duda
Gracias florrr!!!

Cami
Avatar Flor Profesor 25 de mayo 16:47
@ Hola Cami! Lo venis pensando bien al principio, pero con un detalle... fijate que $c$ es un valor en $y$ -> O sea, cuando $c$ vale entre $0$ y $f(0)$, si yo "me paro" en esos valores me cruzo dos veces con la función (estoy mirando toda la función, no sólo el intervalo en $x$ entre $0$ y $+\infty$, lo que varia entre $0$ y $+\infty$ es $c$, que son los valores en $y$ para los cuales estamos estudiando la cantidad de soluciones)

Se ve la diferencia?
Avatar 25 de mayo 17:58
@Flor ahhh ok!!! si ahi me di cuenta de lo q decis. genial flor, mil gracias!!!
ya a esta altura me confunden cosas minimas :((( me anoto todo para tenerlo en cuenta en el parcial 
Avatar tomas 21 de mayo 22:46
Buenas Flor, unas dudas, a veces escribís de una forma y después de otra, cual es el motivo? otra, cuando hacemos el "cuadrito" habría que poner por ejemplo, (-infinito; -1/4) (-1/4)(-1/4;1/4) (1/4) (1/4; +infinito)?, ¿Cómo seria el "cuadrito" cuando es el ejemplo de x<0? La ultima, ¿Sacar la (y) es igualar en la función el numero que nos da la asíntota horizontal? Perdón si son muchas pero las recolecte todas en una, gracias de verdad por todo <3332024-05-21%2022:40:22_7699053.png2024-05-21%2022:40:37_4952651.png
Avatar Flor Profesor 21 de mayo 23:17
@tomas Hola Tomi! Justo estaba terminando de responder todas las dudas de hoy y me entró la tuya jaja

En realidad las dos formas son lo mismo! Por ejemplo, en este caso cuando digo $x < 0$, estoy haciendo referencia al conjunto formado por todos los $x$ menores a cero, o sea, $(-\infty, 0)$. O por ejemplo, si decimos $0<x<1$, son todos los $x$ que están entre $0$ y $1$, o sea en el intervalo $(0,1)$, se ve? En este ejemplo la tablita te quedaría así:

2024-05-21%2023:14:57_6268287.png

Y con respecto a la última pregunta, acordate que la asíntota horizontal es una recta de pendiente cero (o sea una recta horizontal), entonces es algo de la forma $y = $ un número. 

Si cuando tomamos el límite cuando $x$ tiende a $+$ o a $-\infty$ ese límite nos da un número, quiere decir que en infinito nuestra función "se pega" a esa recta horizontal. Entonces ponés, como en este caso, que $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ (que es el resultado que nos dio el límite), se entiende?
Avatar tomas 22 de mayo 19:18
perdón por la hora 🥺 si, se entendió perfectamente, era algo q me costaba entender pero ya lo voy cerrando mejor, gracias!
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